Resolver 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Resolva para x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, 2 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Some 4 com -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} quando ± for uma adição. Some -2 com 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Divida -2+2i\sqrt{2} por 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 2i\sqrt{2} de -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Divida -2-2i\sqrt{2} por 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Subtrair 1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divida \frac{2}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Some -\frac{1}{3} com \frac{1}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Fatorize x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Subtraia \frac{1}{3} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$