Resolver 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Resolva para x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx-35. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

A solução é o par que devolve a soma 16.

$$a=-5 b=21$$

Reescreva 3x^{2}+16x-35 como \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Fator out x no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-5=0 e x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, 16 por b e -35 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Some 256 com 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-16±26}{6} quando ± for uma adição. Some -16 com 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Reduza a fração \frac{10}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-16±26}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 26 de -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Divida -42 por 6.

$$x=-7$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Some 35 a ambos os lados da equação.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Subtrair -35 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Subtraia -35 de 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Divida \frac{16}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{8}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{8}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{8}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Some \frac{35}{3} com \frac{64}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Fatorize x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Subtraia \frac{8}{3} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$