Resolver 3x=2+sqrt{x^2+2x}

$$3 x = 2 + \sqrt { x ^ { 2 } + 2 x }$$

Resolva para x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 7}{8} \approx 1,390388203$$

Passos Para a Resolução

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$3x-2=\sqrt{x^{2}+2x}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(3x-2\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+2x}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3x-2\right)^{2}.

$$9x^{2}-12x+4=\left(\sqrt{x^{2}+2x}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x^{2}+2x} elevado a 2 e obtenha x^{2}+2x.

$$9x^{2}-12x+4=x^{2}+2x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$9x^{2}-12x+4-x^{2}=2x$$

Combine 9x^{2} e -x^{2} para obter 8x^{2}.

$$8x^{2}-12x+4=2x$$

Subtraia 2x de ambos os lados.

$$8x^{2}-12x+4-2x=0$$

Combine -12x e -2x para obter -14x.

$$8x^{2}-14x+4=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 8 por a, -14 por b e 4 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Calcule o quadrado de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Multiplique -4 vezes 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\times 4}}{2\times 8}$$

Multiplique -32 vezes 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-128}}{2\times 8}$$

Some 196 com -128.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{68}}{2\times 8}$$

Calcule a raiz quadrada de 68.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{17}}{2\times 8}$$

O oposto de -14 é 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{17}}{2\times 8}$$

Multiplique 2 vezes 8.

$$x=\frac{14±2\sqrt{17}}{16}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{14±2\sqrt{17}}{16} quando ± for uma adição. Some 14 com 2\sqrt{17}.

$$x=\frac{2\sqrt{17}+14}{16}$$

Divida 14+2\sqrt{17} por 16.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{14±2\sqrt{17}}{16} quando ± for uma subtração. Subtraia 2\sqrt{17} de 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{17}}{16}$$

Divida 14-2\sqrt{17} por 16.

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{8}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{17}}{8}$$

Substitua \frac{\sqrt{17}+7}{8} por x na equação 3x=2+\sqrt{x^{2}+2x}.

$$3\times \frac{\sqrt{17}+7}{8}=2+\sqrt{\left(\frac{\sqrt{17}+7}{8}\right)^{2}+2\times \frac{\sqrt{17}+7}{8}}$$

Simplifique. O valor x=\frac{\sqrt{17}+7}{8} satisfaz a equação.

$$\frac{3}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}+\frac{21}{8}=\frac{21}{8}+\frac{3}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}$$

Substitua \frac{7-\sqrt{17}}{8} por x na equação 3x=2+\sqrt{x^{2}+2x}.

$$3\times \frac{7-\sqrt{17}}{8}=2+\sqrt{\left(\frac{7-\sqrt{17}}{8}\right)^{2}+2\times \frac{7-\sqrt{17}}{8}}$$

Simplifique. O valor x=\frac{7-\sqrt{17}}{8} não satisfaz a equação.

$$\frac{21}{8}-\frac{3}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}=\frac{11}{8}+\frac{3}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}$$

A equação 3x-2=\sqrt{x^{2}+2x} tem uma solução única.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{8}$$