Resolver 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Resolva para x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Subtraia 6y de ambos os lados.

$$3x+9-6y=0$$

Subtraia 9 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$3x-6y=-9$$

Considere a segunda equação. Adicionar 12 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$-2x-2y=12$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$3x-6y=-9$$

Some 6y a ambos os lados da equação.

$$3x=6y-9$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Multiplique \frac{1}{3} vezes 6y-9.

$$x=2y-3$$

Substitua 2y-3 por x na outra equação, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Multiplique -2 vezes 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Some -4y com -2y.

$$-6y+6=12$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$-6y=6$$

Divida ambos os lados por -6.

$$y=-1$$

Substitua -1 por y em x=2y-3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=-2-3$$

Some -3 com -2.

$$x=-5$$

O sistema está resolvido.

$$x=-5,y=-1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Subtraia 6y de ambos os lados.

$$3x+9-6y=0$$

Subtraia 9 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$3x-6y=-9$$

Considere a segunda equação. Adicionar 12 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$-2x-2y=12$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-5,y=-1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Subtraia 6y de ambos os lados.

$$3x+9-6y=0$$

Subtraia 9 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$3x-6y=-9$$

Considere a segunda equação. Adicionar 12 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$-2x-2y=12$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Para tornar 3x e -2x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por -2 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Simplifique.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Subtraia -6x-6y=36 de -6x+12y=18 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Some -6x com 6x. Os termos -6x e 6x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$12y+6y=18-36$$

Some 12y com 6y.

$$18y=18-36$$

Some 18 com -36.

$$18y=-18$$

Divida ambos os lados por 18.

$$y=-1$$

Substitua -1 por y em -2x-2y=12. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Multiplique -2 vezes -1.

$$-2x+2=12$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$-2x=10$$

Divida ambos os lados por -2.

$$x=-5$$

O sistema está resolvido.

$$x=-5,y=-1$$