Resolver 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Resolva para x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$3x+5y=8$$

Subtraia 5y de ambos os lados da equação.

$$3x=-5y+8$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Multiplique \frac{1}{3} vezes -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Substitua \frac{-5y+8}{3} por x na outra equação, x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Some -\frac{5y}{3} com -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Subtraia \frac{8}{3} de ambos os lados da equação.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Divida ambos os lados da equação por -\frac{11}{3}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Some \frac{8}{3} com -\frac{5}{3} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=1$$

O sistema está resolvido.

$$x=1,y=1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=1,y=1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Para tornar 3x e x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 3.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Simplifique.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Subtraia 3x-6y=-3 de 3x+5y=8 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Some 3x com -3x. Os termos 3x e -3x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$5y+6y=8+3$$

Some 5y com 6y.

$$11y=8+3$$

Some 8 com 3.

$$11y=11$$

Divida ambos os lados por 11.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em x-2y=-1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x-2=-1$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$x=1$$

O sistema está resolvido.

$$x=1,y=1$$