Resolver 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Resolva para x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$3x+2y=8$$

Subtraia 2y de ambos os lados da equação.

$$3x=-2y+8$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Multiplique \frac{1}{3} vezes -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Substitua \frac{-2y+8}{3} por x na outra equação, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Multiplique 5 vezes \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Some -\frac{10y}{3} com -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Subtraia \frac{40}{3} de ambos os lados da equação.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Divida ambos os lados da equação por -\frac{22}{3}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Some \frac{8}{3} com -\frac{2}{3} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=2$$

O sistema está resolvido.

$$x=2,y=1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=2,y=1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Para tornar 3x e 5x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 5 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Simplifique.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Subtraia 15x-12y=18 de 15x+10y=40 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Some 15x com -15x. Os termos 15x e -15x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$10y+12y=40-18$$

Some 10y com 12y.

$$22y=40-18$$

Some 40 com -18.

$$22y=22$$

Divida ambos os lados por 22.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em 5x-4y=6. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$5x-4=6$$

Some 4 a ambos os lados da equação.

$$5x=10$$

Divida ambos os lados por 5.

$$x=2$$

O sistema está resolvido.

$$x=2,y=1$$