Resolver 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Resolva para q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3q^{2}+aq+bq+16. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

A solução é o par que devolve a soma -19.

$$a=-16 b=-3$$

Reescreva 3q^{2}-19q+16 como \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Decomponha q no primeiro grupo e -1 no segundo.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Decomponha o termo comum 3q-16 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione 3q-16=0 e q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, -19 por b e 16 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de -19.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Some 361 com -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

O oposto de -19 é 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Agora, resolva a equação q=\frac{19±13}{6} quando ± for uma adição. Some 19 com 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Reduza a fração \frac{32}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Agora, resolva a equação q=\frac{19±13}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 13 de 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Divida 6 por 6.

$$q=1$$

A equação está resolvida.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Subtraia 16 de ambos os lados da equação.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Subtrair 16 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Divida -\frac{19}{3}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{19}{6}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{19}{6} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{19}{6}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Some -\frac{16}{3} com \frac{361}{36} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Fatorize q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifique.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Some \frac{19}{6} a ambos os lados da equação.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$