Resolver 3q^2-12q=15

$$3 q ^ { 2 } - 12 q = 15$$

Resolva para q

$$q=-1$$

$$q=5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 15 de ambos os lados.

$$3q^{2}-12q-15=0$$

Divida ambos os lados por 3.

$$q^{2}-4q-5=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como q^{2}+aq+bq-5. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-4 ab=1\left(-5\right)=-5$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. O único par é a solução do sistema.

$$a=-5 b=1$$

Reescreva q^{2}-4q-5 como \left(q^{2}-5q\right)+\left(q-5\right).

$$\left(q^{2}-5q\right)+\left(q-5\right)$$

Decomponha q em q^{2}-5q.

$$q\left(q-5\right)+q-5$$

Decomponha o termo comum q-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(q-5\right)\left(q+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva q-5=0 e q+1=0.

$$q=5 q=-1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3q^{2}-12q=15$$

Subtraia 15 de ambos os lados da equação.

$$3q^{2}-12q-15=15-15$$

Subtrair 15 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3q^{2}-12q-15=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, -12 por b e -15 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de -12.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes -15.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+180}}{2\times 3}$$

Some 144 com 180.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{324}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 324.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±18}{2\times 3}$$

O oposto de -12 é 12.

$$q=\frac{12±18}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$q=\frac{12±18}{6}$$

Agora, resolva a equação q=\frac{12±18}{6} quando ± for uma adição. Some 12 com 18.

$$q=\frac{30}{6}$$

Divida 30 por 6.

$$q=5$$

Agora, resolva a equação q=\frac{12±18}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 18 de 12.

$$q=-\frac{6}{6}$$

Divida -6 por 6.

$$q=-1$$

A equação está resolvida.

$$q=5 q=-1$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-12q=15$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3q^{2}-12q}{3}=\frac{15}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$q^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)q=\frac{15}{3}$$

Divida -12 por 3.

$$q^{2}-4q=\frac{15}{3}$$

Divida 15 por 3.

$$q^{2}-4q=5$$

Divida -4, o coeficiente do termo x, 2 para obter -2. Em seguida, adicione o quadrado de -2 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$q^{2}-4q+\left(-2\right)^{2}=5+\left(-2\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$q^{2}-4q+4=5+4$$

Some 5 com 4.

$$q^{2}-4q+4=9$$

Fatorize q^{2}-4q+4. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-2\right)^{2}=9$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(q-2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifique.

$$q-2=3 q-2=-3$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$q=5 q=-1$$