Resolver 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Resolva para p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3p^{2}+ap+bp+5. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

A solução é o par que devolve a soma -8.

$$a=-5 b=-3$$

Reescreva 3p^{2}-8p+5 como \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Fator out p no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Decomponha o termo comum 3p-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3p-5=0 e p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, -8 por b e 5 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de -8.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Some 64 com -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

O oposto de -8 é 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Agora, resolva a equação p=\frac{8±2}{6} quando ± for uma adição. Some 8 com 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Reduza a fração \frac{10}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

Agora, resolva a equação p=\frac{8±2}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 2 de 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Divida 6 por 6.

$$p=1$$

A equação está resolvida.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Subtraia 5 de ambos os lados da equação.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Subtrair 5 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Divida -\frac{8}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{4}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{4}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{4}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Some -\frac{5}{3} com \frac{16}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Fatorize p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplifique.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Some \frac{4}{3} a ambos os lados da equação.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$