Resolver 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Resolva para n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 1141 de ambos os lados.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Subtraia 1141 de 1 para obter -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Divida ambos os lados por 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como n^{2}+an+bn-380. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

A solução é o par que devolve a soma 1.

$$a=-19 b=20$$

Reescreva n^{2}+n-380 como \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Fator out n no primeiro e 20 no segundo grupo.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Decomponha o termo comum n-19 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva n-19=0 e n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Subtraia 1141 de ambos os lados da equação.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Subtrair 1141 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Subtraia 1141 de 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, 3 por b e -1140 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Some 9 com 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{-3±117}{6} quando ± for uma adição. Some -3 com 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Divida 114 por 6.

$$n=19$$

Agora, resolva a equação n=\frac{-3±117}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 117 de -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Divida -120 por 6.

$$n=-20$$

A equação está resolvida.

$$n=19 n=-20$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Subtrair 1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Subtraia 1 de 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Divida 3 por 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Divida 1140 por 3.

$$n^{2}+n=380$$

Divida 1, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Some 380 com \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Fatorize n^{2}+n+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Simplifique.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$n=19 n=-20$$