Resolver 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Resolva para n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3n^{2}+an+bn-8. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

A solução é o par que devolve a soma 10.

$$a=-2 b=12$$

Reescreva 3n^{2}+10n-8 como \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Fator out n no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Decomponha o termo comum 3n-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3n-2=0 e n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3n^{2}+10n=8$$

Subtraia 8 de ambos os lados da equação.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Subtrair 8 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, 10 por b e -8 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Some 100 com 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{-10±14}{6} quando ± for uma adição. Some -10 com 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Reduza a fração \frac{4}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{-10±14}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 14 de -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Divida -24 por 6.

$$n=-4$$

A equação está resolvida.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Divida \frac{10}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{5}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{5}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{5}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Some \frac{8}{3} com \frac{25}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Fatorize n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifique.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Subtraia \frac{5}{3} de ambos os lados da equação.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$