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Resolva para z
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z^{2}+3z+2=0
Divida ambos os lados por 3.
a+b=3 ab=1\times 2=2
Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como z^{2}+az+bz+2. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.
a=1 b=2
Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. O único par é a solução do sistema.
\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)
Reescreva z^{2}+3z+2 como \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).
z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)
Fator out z no primeiro e 2 no segundo grupo.
\left(z+1\right)\left(z+2\right)
Decomponha o termo comum z+1 ao utilizar a propriedade distributiva.
z=-1 z=-2
Para encontrar soluções de equação, resolva z+1=0 e z+2=0.
3z^{2}+9z+6=0
Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.
z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}
Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, 9 por b e 6 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}
Calcule o quadrado de 9.
z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}
Multiplique -4 vezes 3.
z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}
Multiplique -12 vezes 6.
z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}
Some 81 com -72.
z=\frac{-9±3}{2\times 3}
Calcule a raiz quadrada de 9.
z=\frac{-9±3}{6}
Multiplique 2 vezes 3.
z=-\frac{6}{6}
Agora, resolva a equação z=\frac{-9±3}{6} quando ± for uma adição. Some -9 com 3.
z=-1
Divida -6 por 6.
z=-\frac{12}{6}
Agora, resolva a equação z=\frac{-9±3}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 3 de -9.
z=-2
Divida -12 por 6.
z=-1 z=-2
A equação está resolvida.
3z^{2}+9z+6=0
As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.
3z^{2}+9z+6-6=-6
Subtraia 6 de ambos os lados da equação.
3z^{2}+9z=-6
Subtrair 6 do próprio valor devolve o resultado 0.
\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}
Divida ambos os lados por 3.
z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}
Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.
z^{2}+3z=-\frac{6}{3}
Divida 9 por 3.
z^{2}+3z=-2
Divida -6 por 3.
z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}
Divida 3, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{3}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{3}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.
z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}
Calcule o quadrado de \frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.
z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}
Some -2 com \frac{9}{4}.
\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}
Fatorize z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.
\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}
Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.
z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}
Simplifique.
z=-1 z=-2
Subtraia \frac{3}{2} de ambos os lados da equação.