Resolver 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Resolva para z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como z^{2}+az+bz+2. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. O único par é a solução do sistema.

$$a=1 b=2$$

Reescreva z^{2}+3z+2 como \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Decomponha z no primeiro grupo e 2 no segundo.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Decomponha o termo comum z+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione z+1=0 e z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, 9 por b e 6 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de 9.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Some 81 com -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Agora, resolva a equação z=\frac{-9±3}{6} quando ± for uma adição. Some -9 com 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Divida -6 por 6.

$$z=-1$$

Agora, resolva a equação z=\frac{-9±3}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 3 de -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Divida -12 por 6.

$$z=-2$$

A equação está resolvida.

$$z=-1 z=-2$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Subtrair 6 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Divida 9 por 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Divida -6 por 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Divida 3, o coeficiente do termo x, por 2 para obter \frac{3}{2}. Em seguida, some o quadrado de \frac{3}{2} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Some -2 com \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Fatorize z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifique.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Subtraia \frac{3}{2} de ambos os lados da equação.

$$z=-1 z=-2$$