Resolver 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Fatorizar

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Passos Para a Resolução

Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -40 e q divide o coeficiente inicial 3. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-2$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 por x+2 para obter 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -20 e q divide o coeficiente inicial 3. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=\frac{5}{3}$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 por 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 para obter x^{2}+4. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$x^{2}+4=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, 0 por b e 4 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

O polinómio x^{2}+4 não é fatorizado, pois não tem raízes racionais.

$$x^{2}+4$$

Reescreva a expressão fatorizada ao utilizar as raízes obtidas.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Avaliar

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$