Resolver 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx-60. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

A solução é o par que devolve a soma -31.

$$a=-36 b=5$$

Reescreva 3x^{2}-31x-60 como \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Fator out 3x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Decomponha o termo comum x-12 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-12=0 e 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, -31 por b e -60 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Some 961 com 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

O oposto de -31 é 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{31±41}{6} quando ± for uma adição. Some 31 com 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Divida 72 por 6.

$$x=12$$

Agora, resolva a equação x=\frac{31±41}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 41 de 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Reduza a fração \frac{-10}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Some 60 a ambos os lados da equação.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Subtrair -60 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Subtraia -60 de 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Divida 60 por 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Divida -\frac{31}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{31}{6}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{31}{6} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{31}{6}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Some 20 com \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Fatorize x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Some \frac{31}{6} a ambos os lados da equação.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$