Resolver 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Resolva para x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 138 de ambos os lados.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx-138. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

A solução é o par que devolve a soma 5.

$$a=-18 b=23$$

Reescreva 3x^{2}+5x-138 como \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Decomponha 3x no primeiro grupo e 23 no segundo.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Decomponha o termo comum x-6 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione x-6=0 e 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3x^{2}+5x=138$$

Subtraia 138 de ambos os lados da equação.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Subtrair 138 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, 5 por b e -138 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Some 25 com 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-5±41}{6} quando ± for uma adição. Some -5 com 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Divida 36 por 6.

$$x=6$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-5±41}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 41 de -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Reduza a fração \frac{-46}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Divida 138 por 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Divida \frac{5}{3}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter \frac{5}{6}. Em seguida, some o quadrado de \frac{5}{6} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{5}{6}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Some 46 com \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Fatorize x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Subtraia \frac{5}{6} de ambos os lados da equação.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$