Resolver 3x^2+5x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Resolva para x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.833333333+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0.833333333-1.518405597i$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, 5 por b e 9 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

Some 25 com -108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de -83.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} quando ± for uma adição. Some -5 com i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia i\sqrt{83} de -5.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Subtraia 9 de ambos os lados da equação.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

Subtrair 9 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Divida -9 por 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

Divida \frac{5}{3}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter \frac{5}{6}. Em seguida, some o quadrado de \frac{5}{6} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{5}{6}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

Some -3 com \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

Fatorize x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Subtraia \frac{5}{6} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$