Resolver 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Resolva para x

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx+10. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

A solução é o par que devolve a soma 17.

$$a=2 b=15$$

Reescreva 3x^{2}+17x+10 como \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Decomponha x no primeiro grupo e 5 no segundo.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Decomponha o termo comum 3x+2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione 3x+2=0 e x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, 17 por b e 10 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Some 289 com -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-17±13}{6} quando ± for uma adição. Some -17 com 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Reduza a fração \frac{-4}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-17±13}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 13 de -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Divida -30 por 6.

$$x=-5$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Subtraia 10 de ambos os lados da equação.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

Subtrair 10 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Divida \frac{17}{3}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter \frac{17}{6}. Em seguida, some o quadrado de \frac{17}{6} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{17}{6}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Some -\frac{10}{3} com \frac{289}{36} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Fatorize x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Subtraia \frac{17}{6} de ambos os lados da equação.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$