Resolver 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Resolva para x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 256x^{2}+ax+bx+1. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 256.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

A solução é o par que devolve a soma -32.

$$a=-16 b=-16$$

Reescreva 256x^{2}-32x+1 como \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Decomponha 16x no primeiro grupo e -1 no segundo.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 16x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 256 por a, -32 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Calcule o quadrado de -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Multiplique -4 vezes 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Some 1024 com -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

O oposto de -32 é 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Multiplique 2 vezes 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Reduza a fração \frac{32}{512} para os termos mais baixos ao retirar e anular 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Subtrair 1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Divida ambos os lados por 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

Dividir por 256 anula a multiplicação por 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Reduza a fração \frac{-32}{256} para os termos mais baixos ao retirar e anular 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Divida -\frac{1}{8}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{1}{16}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{1}{16} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{16}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Some -\frac{1}{256} com \frac{1}{256} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Fatorize x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Some \frac{1}{16} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$x=\frac{1}{16}$$