Resolver 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Resolva para x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 25x^{2}+ax+bx+16. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

A solução é o par que devolve a soma -40.

$$a=-20 b=-20$$

Reescreva 25x^{2}-40x+16 como \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Fator out 5x no primeiro e -4 no segundo grupo.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Decomponha o termo comum 5x-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 25 por a, -40 por b e 16 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Calcule o quadrado de -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplique -4 vezes 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplique -100 vezes 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Some 1600 com -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

O oposto de -40 é 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Multiplique 2 vezes 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Reduza a fração \frac{40}{50} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Subtraia 16 de ambos os lados da equação.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Subtrair 16 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Divida ambos os lados por 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Dividir por 25 anula a multiplicação por 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Reduza a fração \frac{-40}{25} para os termos mais baixos ao retirar e anular 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Divida -\frac{8}{5}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{4}{5}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{4}{5} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{4}{5}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Some -\frac{16}{25} com \frac{16}{25} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Fatorize x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Some \frac{4}{5} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$x=\frac{4}{5}$$