Resolver 24x-3x^2=45

$$24x-3 { x }^{ 2 } =45$$

Resolva para x

$$x=3$$

$$x=5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 45 de ambos os lados.

$$24x-3x^{2}-45=0$$

Divida ambos os lados por 3.

$$8x-x^{2}-15=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}+8x-15=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx-15. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=8 ab=-\left(-15\right)=15$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 15.

$$1,15 3,5$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+15=16 3+5=8$$

A solução é o par que devolve a soma 8.

$$a=5 b=3$$

Reescreva -x^{2}+8x-15 como \left(-x^{2}+5x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(3x-15\right)$$

Fator out -x no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$-x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Decomponha o termo comum x-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(-x+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-5=0 e -x+3=0.

$$x=5 x=3$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-3x^{2}+24x=45$$

Subtraia 45 de ambos os lados da equação.

$$-3x^{2}+24x-45=45-45$$

Subtrair 45 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$-3x^{2}+24x-45=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -3 por a, 24 por b e -45 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\left(-3\right)\left(-45\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule o quadrado de 24.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\left(-3\right)\left(-45\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique -4 vezes -3.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+12\left(-45\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 12 vezes -45.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-540}}{2\left(-3\right)}$$

Some 576 com -540.

$$x=\frac{-24±\sqrt{36}}{2\left(-3\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 36.

$$x=\frac{-24±6}{2\left(-3\right)}$$

Multiplique 2 vezes -3.

$$x=\frac{-24±6}{-6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-24±6}{-6} quando ± for uma adição. Some -24 com 6.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Divida -18 por -6.

$$x=3$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-24±6}{-6} quando ± for uma subtração. Subtraia 6 de -24.

$$x=-\frac{30}{-6}$$

Divida -30 por -6.

$$x=5$$

A equação está resolvida.

$$x=3 x=5$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+24x=45$$

Divida ambos os lados por -3.

$$\frac{-3x^{2}+24x}{-3}=\frac{45}{-3}$$

Dividir por -3 anula a multiplicação por -3.

$$x^{2}+\frac{24}{-3}x=\frac{45}{-3}$$

Divida 24 por -3.

$$x^{2}-8x=\frac{45}{-3}$$

Divida 45 por -3.

$$x^{2}-8x=-15$$

Divida -8, o coeficiente do termo x, 2 para obter -4. Em seguida, adicione o quadrado de -4 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -4.

$$x^{2}-8x+16=-15+16$$

Some -15 com 16.

$$x^{2}-8x+16=1$$

Fatorize x^{2}-8x+16. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=1$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifique.

$$x-4=1 x-4=-1$$

Some 4 a ambos os lados da equação.

$$x=5 x=3$$