Resolver 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Resolva para k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 12k^{2}+ak+bk+12. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

A solução é o par que devolve a soma 25.

$$a=9 b=16$$

Reescreva 12k^{2}+25k+12 como \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Fator out 3k no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Decomponha o termo comum 4k+3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 4k+3=0 e 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 24 por a, 50 por b e 24 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Calcule o quadrado de 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Multiplique -4 vezes 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Multiplique -96 vezes 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Some 2500 com -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Calcule a raiz quadrada de 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Multiplique 2 vezes 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Agora, resolva a equação k=\frac{-50±14}{48} quando ± for uma adição. Some -50 com 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Reduza a fração \frac{-36}{48} para os termos mais baixos ao retirar e anular 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Agora, resolva a equação k=\frac{-50±14}{48} quando ± for uma subtração. Subtraia 14 de -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Reduza a fração \frac{-64}{48} para os termos mais baixos ao retirar e anular 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

A equação está resolvida.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Subtraia 24 de ambos os lados da equação.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Subtrair 24 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Divida ambos os lados por 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Dividir por 24 anula a multiplicação por 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Reduza a fração \frac{50}{24} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Divida -24 por 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Divida \frac{25}{12}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{25}{24}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{25}{24} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{25}{24}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Some -1 com \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Fatorize k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Simplifique.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Subtraia \frac{25}{24} de ambos os lados da equação.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$