Resolver 24+5x-x^2=0

$$24 + 5 x - x ^ { 2 } = 0$$

Resolva para x

$$x=-3$$

$$x=8$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+24. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=5 ab=-24=-24$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

A solução é o par que devolve a soma 5.

$$a=8 b=-3$$

Reescreva -x^{2}+5x+24 como \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Fator out -x no primeiro e -3 no segundo grupo.

$$-x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Decomponha o termo comum x-8 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(-x-3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-8=0 e -x-3=0.

$$x=8 x=-3$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 5 por b e 24 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Some 25 com 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{-5±11}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-5±11}{-2} quando ± for uma adição. Some -5 com 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divida 6 por -2.

$$x=-3$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-5±11}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 11 de -5.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

Divida -16 por -2.

$$x=8$$

A equação está resolvida.

$$x=-3 x=8$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Subtraia 24 de ambos os lados da equação.

$$-x^{2}+5x+24-24=-24$$

Subtrair 24 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$-x^{2}+5x=-24$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

Divida 5 por -1.

$$x^{2}-5x=-\frac{24}{-1}$$

Divida -24 por -1.

$$x^{2}-5x=24$$

Divida -5, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{5}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{5}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{5}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Some 24 com \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Fatorize x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Some \frac{5}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=8 x=-3$$