Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora. No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero. As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real. Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão só faz sentido quando o número que vai ser dividido é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir. Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto. Se a e b são dois números inteiros positivos (com displaystyle bgeq a), o quociente da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que displaystyle bqleq a. O resto da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que displaystyler=a-bq. A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência. Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso. Por um exemplo, para dividirmos um número racional displaystyleq₁=fracab por displaystyleq₂=fraccd (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma displaystylefracq₁q₂=q₁q₂⁻¹=fracabfracdc=fracadbc Em displaystylemathbbZ₁₃ (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma: displaystylefrac75=7.5⁻¹=7.8=4 Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto. Veja divisão polinomial. A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos. Sejam a e b elementos do conjunto dos números inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma: Como uma fração: displaystylefracab, (utilizando uma barra horizontal entre os dois números); Através de uma barra inclinada: displaystyleᵃ!/!b. (É utilizado para fazer operações em computadores); Com a simbologia usual da divisão, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles: displaystyle adiv b; Utilizando dois pontos entre os dois números na horizontal: displaystylea:b; Usando a notação do inverso multiplicativo: displaystyleab⁻¹. Divisão de números consecutivos Seja o número impar textstylea>1 e o seu consecutivo textstylea+1 . Seja a divisão displaystylea/(a+1)=s. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir : a - O quociente displaystyle s é menor do que displaystyle1 e tende para displaystyle1 com o aumento de displaystyle a, então displaystylelimₐₜₒᵢₙfₜyrightarrows=1 b - Na imensa maioria das proposições o quociente displaystyle s apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal. Seja a divisão displaystyle(a+1)/a=sʼ. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir: a - O quociente displaystylesʼ é maior do que displaystyle1 e tende para displaystyle1 com o aumento de displaystyle a, então displaystylelimₐₜₒᵢₙfₜyrightarrowsʼ=1 b - Na imensa maioria das proposições o quociente displaystylesʼ apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal. Entretanto Em nenhuma das proposições para displaystyles,sʼ ocorre com estes números consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposições os dois quocientes com números finitos de algarismos após a virgula decimal. Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos a considerar: Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar sejam dois números consecutivos displaystyleA,B com displaystyleA>B e de paridade par. A divisão displaystyleA/B=1+1/B , e a outra divisão displaystyleB/A=1-1/A . Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números com infinitos algarismos após o ponto decimal. Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal. No sistema decimal a decomposição única do número displaystyle10 é dada por displaystyle10=2.5 , então a fração displaystyle1/B só não será uma dizima infinita quando displaystyleB=5ⁿ pois displaystyle B é um número de paridade impar. A fração displaystyle1/A só não será uma dizima infinita quando displaystyleA=2ᵐ.10ⁿ . A expressão displaystyle5ⁿ termina sempre com o número displaystyle25 exceto para displaystylen=1. Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número displaystyle A tem que terminar com o número displaystyle26 exceto para o primeiro caso onde displaystyleA=6 , e o número displaystyle A , terá que ser da forma displaystyle2ᵐ onde a expressão displaystyle1/A não será uma dizima infinita. Como os números da forma displaystyle2ᵐ com algarismo displaystyle6 na na última posição são sempre terminados em displaystyle16,56,96,36,76 jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo displaystyle25,26 e com a propriedade de serem da forma displaystyle5ⁿ,2ᵐ. Sejam dois números consecutivos displaystyleB,A com displaystyleB>A e de paridade impar. A divisão displaystyleB/A=1+1/A e a outra divisão displaystyleA/B=1-1/B Na imensa maioria dos casos, cada uma destas duas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal. Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal. No sistema decimal a decomposição única do número displaystyle10 é displaystyle10=2.5, então a fração displaystyle1/A só não uma dizima infinita quando displaystyleA=2ᵐ . A fração displaystyle1/B só não será uma dizima infinita quando displaystyleB=5ⁿ . A expressão displaystyle5ⁿ termina sempre no número displaystyle25 exceto para displaystylen=1 . Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número displaystyle A tem que terminar em displaystyle24 , exceto para o primeiro caso onde displaystyleA=4 , e número displaystyle A terá que ser da forma displaystyle2ᵐ , onde a expressão displaystyle1/A não será uma dizima infinita. O valor de displaystyle A só termina em displaystyle24 , para displaystylem=10,30,50,70,90,110... e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em displaystyle25 é da forma displaystyle5ⁿ, impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em displaystyle24,25 que sejam da forma displaystyle2ᵐ,5ⁿ . Estas divisões são aplicadas nas soluções para o Último Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal a partir das equações do Terno Pitagórico obtidas por Geometria, pois qualquer raiz de um número racional com dizima infinita não terá como resposta um número inteiro. Todas as outras fórmulas para a determinação do Terno Pitagórico inclusive as Fórmulas de Euclides não se aplicam, porque são fórmulas incompletas.
