Resolver 21q^2+37q+12=0

$$21 q ^ { 2 } + 37 q + 12 = 0$$

Resolva para q

$$q = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$q=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 21q^{2}+aq+bq+12. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=37 ab=21\times 12=252$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 252.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

A solução é o par que devolve a soma 37.

$$a=9 b=28$$

Reescreva 21q^{2}+37q+12 como \left(21q^{2}+9q\right)+\left(28q+12\right).

$$\left(21q^{2}+9q\right)+\left(28q+12\right)$$

Fator out 3q no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$3q\left(7q+3\right)+4\left(7q+3\right)$$

Decomponha o termo comum 7q+3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(7q+3\right)\left(3q+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 7q+3=0 e 3q+4=0.

$$q=-\frac{3}{7} q=-\frac{4}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$21q^{2}+37q+12=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 21 por a, 37 por b e 12 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-37±\sqrt{37^{2}-4\times 21\times 12}}{2\times 21}$$

Calcule o quadrado de 37.

$$q=\frac{-37±\sqrt{1369-4\times 21\times 12}}{2\times 21}$$

Multiplique -4 vezes 21.

$$q=\frac{-37±\sqrt{1369-84\times 12}}{2\times 21}$$

Multiplique -84 vezes 12.

$$q=\frac{-37±\sqrt{1369-1008}}{2\times 21}$$

Some 1369 com -1008.

$$q=\frac{-37±\sqrt{361}}{2\times 21}$$

Calcule a raiz quadrada de 361.

$$q=\frac{-37±19}{2\times 21}$$

Multiplique 2 vezes 21.

$$q=\frac{-37±19}{42}$$

Agora, resolva a equação q=\frac{-37±19}{42} quando ± for uma adição. Some -37 com 19.

$$q=-\frac{18}{42}$$

Reduza a fração \frac{-18}{42} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$q=-\frac{3}{7}$$

Agora, resolva a equação q=\frac{-37±19}{42} quando ± for uma subtração. Subtraia 19 de -37.

$$q=-\frac{56}{42}$$

Reduza a fração \frac{-56}{42} para os termos mais baixos ao retirar e anular 14.

$$q=-\frac{4}{3}$$

A equação está resolvida.

$$q=-\frac{3}{7} q=-\frac{4}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$21q^{2}+37q+12=0$$

Subtraia 12 de ambos os lados da equação.

$$21q^{2}+37q+12-12=-12$$

Subtrair 12 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$21q^{2}+37q=-12$$

Divida ambos os lados por 21.

$$\frac{21q^{2}+37q}{21}=-\frac{12}{21}$$

Dividir por 21 anula a multiplicação por 21.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q=-\frac{12}{21}$$

Reduza a fração \frac{-12}{21} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q=-\frac{4}{7}$$

Divida \frac{37}{21}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{37}{42}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{37}{42} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q+\left(\frac{37}{42}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(\frac{37}{42}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{37}{42}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q+\frac{1369}{1764}=-\frac{4}{7}+\frac{1369}{1764}$$

Some -\frac{4}{7} com \frac{1369}{1764} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q+\frac{1369}{1764}=\frac{361}{1764}$$

Fatorize q^{2}+\frac{37}{21}q+\frac{1369}{1764}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q+\frac{37}{42}\right)^{2}=\frac{361}{1764}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(q+\frac{37}{42}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{1764}}$$

Simplifique.

$$q+\frac{37}{42}=\frac{19}{42} q+\frac{37}{42}=-\frac{19}{42}$$

Subtraia \frac{37}{42} de ambos os lados da equação.

$$q=-\frac{3}{7} q=-\frac{4}{3}$$