Resolver 20t^2-17t=63

$$20 t ^ { 2 } - 17 t = 63$$

Resolva para t

$$t = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1,4$$

$$t = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 63 de ambos os lados.

$$20t^{2}-17t-63=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 20t^{2}+at+bt-63. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-17 ab=20\left(-63\right)=-1260$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -1260.

$$1,-1260 2,-630 3,-420 4,-315 5,-252 6,-210 7,-180 9,-140 10,-126 12,-105 14,-90 15,-84 18,-70 20,-63 21,-60 28,-45 30,-42 35,-36$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-1260=-1259 2-630=-628 3-420=-417 4-315=-311 5-252=-247 6-210=-204 7-180=-173 9-140=-131 10-126=-116 12-105=-93 14-90=-76 15-84=-69 18-70=-52 20-63=-43 21-60=-39 28-45=-17 30-42=-12 35-36=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -17.

$$a=-45 b=28$$

Reescreva 20t^{2}-17t-63 como \left(20t^{2}-45t\right)+\left(28t-63\right).

$$\left(20t^{2}-45t\right)+\left(28t-63\right)$$

Fator out 5t no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$5t\left(4t-9\right)+7\left(4t-9\right)$$

Decomponha o termo comum 4t-9 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(4t-9\right)\left(5t+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 4t-9=0 e 5t+7=0.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$20t^{2}-17t=63$$

Subtraia 63 de ambos os lados da equação.

$$20t^{2}-17t-63=63-63$$

Subtrair 63 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$20t^{2}-17t-63=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 20 por a, -17 por b e -63 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 20\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

Calcule o quadrado de -17.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 20\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

Multiplique -4 vezes 20.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-80\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

Multiplique -80 vezes -63.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+5040}}{2\times 20}$$

Some 289 com 5040.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{5329}}{2\times 20}$$

Calcule a raiz quadrada de 5329.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±73}{2\times 20}$$

O oposto de -17 é 17.

$$t=\frac{17±73}{2\times 20}$$

Multiplique 2 vezes 20.

$$t=\frac{17±73}{40}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{17±73}{40} quando ± for uma adição. Some 17 com 73.

$$t=\frac{90}{40}$$

Reduza a fração \frac{90}{40} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$t=\frac{9}{4}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{17±73}{40} quando ± for uma subtração. Subtraia 73 de 17.

$$t=-\frac{56}{40}$$

Reduza a fração \frac{-56}{40} para os termos mais baixos ao retirar e anular 8.

$$t=-\frac{7}{5}$$

A equação está resolvida.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$20t^{2}-17t=63$$

Divida ambos os lados por 20.

$$\frac{20t^{2}-17t}{20}=\frac{63}{20}$$

Dividir por 20 anula a multiplicação por 20.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t=\frac{63}{20}$$

Divida -\frac{17}{20}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{17}{40}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{17}{40} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\left(-\frac{17}{40}\right)^{2}=\frac{63}{20}+\left(-\frac{17}{40}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{17}{40}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}=\frac{63}{20}+\frac{289}{1600}$$

Some \frac{63}{20} com \frac{289}{1600} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}=\frac{5329}{1600}$$

Fatorize t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{17}{40}\right)^{2}=\frac{5329}{1600}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-\frac{17}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5329}{1600}}$$

Simplifique.

$$t-\frac{17}{40}=\frac{73}{40} t-\frac{17}{40}=-\frac{73}{40}$$

Some \frac{17}{40} a ambos os lados da equação.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$