Resolver 20p^2+33p+16=6

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

Resolva para p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 6 de ambos os lados.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Subtraia 6 de 16 para obter 10.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 20p^{2}+ap+bp+10. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

A solução é o par que devolve a soma 33.

$$a=8 b=25$$

Reescreva 20p^{2}+33p+10 como \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right).

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

Fator out 4p no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

Decomponha o termo comum 5p+2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 5p+2=0 e 4p+5=0.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

Subtrair 6 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Subtraia 6 de 16.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 20 por a, 33 por b e 10 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Calcule o quadrado de 33.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Multiplique -4 vezes 20.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

Multiplique -80 vezes 10.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

Some 1089 com -800.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

Calcule a raiz quadrada de 289.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

Multiplique 2 vezes 20.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

Agora, resolva a equação p=\frac{-33±17}{40} quando ± for uma adição. Some -33 com 17.

$$p=-\frac{16}{40}$$

Reduza a fração \frac{-16}{40} para os termos mais baixos ao retirar e anular 8.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Agora, resolva a equação p=\frac{-33±17}{40} quando ± for uma subtração. Subtraia 17 de -33.

$$p=-\frac{50}{40}$$

Reduza a fração \frac{-50}{40} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$p=-\frac{5}{4}$$

A equação está resolvida.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Subtraia 16 de ambos os lados da equação.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

Subtrair 16 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

Subtraia 16 de 6.

$$20p^{2}+33p=-10$$

Divida ambos os lados por 20.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

Dividir por 20 anula a multiplicação por 20.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

Reduza a fração \frac{-10}{20} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

Divida \frac{33}{20}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{33}{40}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{33}{40} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{33}{40}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

Some -\frac{1}{2} com \frac{1089}{1600} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

Fatorize p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

Simplifique.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

Subtraia \frac{33}{40} de ambos os lados da equação.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$