Resolver 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 20x^{2}+ax+bx-1. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=-5 b=4$$

Reescreva 20x^{2}-x-1 como \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Decomponha 5x em 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Decomponha o termo comum 4x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 4x-1=0 e 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 20 por a, -1 por b e -1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplique -4 vezes 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplique -80 vezes -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Some 1 com 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Calcule a raiz quadrada de 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

O oposto de -1 é 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Multiplique 2 vezes 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±9}{40} quando ± for uma adição. Some 1 com 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Reduza a fração \frac{10}{40} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±9}{40} quando ± for uma subtração. Subtraia 9 de 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Reduza a fração \frac{-8}{40} para os termos mais baixos ao retirar e anular 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Some 1 a ambos os lados da equação.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtrair -1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Subtraia -1 de 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Divida ambos os lados por 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Dividir por 20 anula a multiplicação por 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Divida -\frac{1}{20}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{40}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{40} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{40}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Some \frac{1}{20} com \frac{1}{1600} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Fatorize x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Some \frac{1}{40} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$