Resolver 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Resolva para x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-600. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

A solução é o par que devolve a soma 10.

$$a=-20 b=30$$

Reescreva x^{2}+10x-600 como \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Fator out x no primeiro e 30 no segundo grupo.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Decomponha o termo comum x-20 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-20=0 e x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 25 por a, 250 por b e -15000 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Calcule o quadrado de 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplique -4 vezes 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplique -100 vezes -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Some 62500 com 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Calcule a raiz quadrada de 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Multiplique 2 vezes 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-250±1250}{50} quando ± for uma adição. Some -250 com 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Divida 1000 por 50.

$$x=20$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-250±1250}{50} quando ± for uma subtração. Subtraia 1250 de -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Divida -1500 por 50.

$$x=-30$$

A equação está resolvida.

$$x=20 x=-30$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Some 15000 a ambos os lados da equação.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Subtrair -15000 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Subtraia -15000 de 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Divida ambos os lados por 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Dividir por 25 anula a multiplicação por 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Divida 250 por 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Divida 15000 por 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Divida 10, o coeficiente do termo x, 2 para obter 5. Em seguida, adicione o quadrado de 5 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Calcule o quadrado de 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Some 600 com 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Fatorize x^{2}+10x+25. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Simplifique.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Subtraia 5 de ambos os lados da equação.

$$x=20 x=-30$$