Resolver 2y^2-12y+17=(y-3)^2

$$2 y ^ { 2 } - 12 y + 17 = ( y - 3 ) ^ { 2 }$$

Resolva para y

$$y=2$$

$$y=4$$

Passos com a Fatorização

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-3\right)^{2}.

$$2y^{2}-12y+17=y^{2}-6y+9$$

Subtraia y^{2} de ambos os lados.

$$2y^{2}-12y+17-y^{2}=-6y+9$$

Combine 2y^{2} e -y^{2} para obter y^{2}.

$$y^{2}-12y+17=-6y+9$$

Adicionar 6y em ambos os lados.

$$y^{2}-12y+17+6y=9$$

Combine -12y e 6y para obter -6y.

$$y^{2}-6y+17=9$$

Subtraia 9 de ambos os lados.

$$y^{2}-6y+17-9=0$$

Subtraia 9 de 17 para obter 8.

$$y^{2}-6y+8=0$$

Para resolver a equação, o fator y^{2}-6y+8 utilizando a fórmula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-6 ab=8$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

A solução é o par que devolve a soma -6.

$$a=-4 b=-2$$

Reescreva a expressão \left(y+a\right)\left(y+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(y-4\right)\left(y-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-4=0 e y-2=0.

$$y=4 y=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-3\right)^{2}.

$$2y^{2}-12y+17=y^{2}-6y+9$$

Subtraia y^{2} de ambos os lados.

$$2y^{2}-12y+17-y^{2}=-6y+9$$

Combine 2y^{2} e -y^{2} para obter y^{2}.

$$y^{2}-12y+17=-6y+9$$

Adicionar 6y em ambos os lados.

$$y^{2}-12y+17+6y=9$$

Combine -12y e 6y para obter -6y.

$$y^{2}-6y+17=9$$

Subtraia 9 de ambos os lados.

$$y^{2}-6y+17-9=0$$

Subtraia 9 de 17 para obter 8.

$$y^{2}-6y+8=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como y^{2}+ay+by+8. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-6 ab=1\times 8=8$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

A solução é o par que devolve a soma -6.

$$a=-4 b=-2$$

Reescreva y^{2}-6y+8 como \left(y^{2}-4y\right)+\left(-2y+8\right).

$$\left(y^{2}-4y\right)+\left(-2y+8\right)$$

Fator out y no primeiro e -2 no segundo grupo.

$$y\left(y-4\right)-2\left(y-4\right)$$

Decomponha o termo comum y-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(y-4\right)\left(y-2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-4=0 e y-2=0.

$$y=4 y=2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-3\right)^{2}.

$$2y^{2}-12y+17=y^{2}-6y+9$$

Subtraia y^{2} de ambos os lados.

$$2y^{2}-12y+17-y^{2}=-6y+9$$

Combine 2y^{2} e -y^{2} para obter y^{2}.

$$y^{2}-12y+17=-6y+9$$

Adicionar 6y em ambos os lados.

$$y^{2}-12y+17+6y=9$$

Combine -12y e 6y para obter -6y.

$$y^{2}-6y+17=9$$

Subtraia 9 de ambos os lados.

$$y^{2}-6y+17-9=0$$

Subtraia 9 de 17 para obter 8.

$$y^{2}-6y+8=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -6 por b e 8 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 8}}{2}$$

Calcule o quadrado de -6.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 8}}{2}$$

Multiplique -4 vezes 8.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-32}}{2}$$

Some 36 com -32.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{4}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 4.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±2}{2}$$

O oposto de -6 é 6.

$$y=\frac{6±2}{2}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{6±2}{2} quando ± for uma adição. Some 6 com 2.

$$y=\frac{8}{2}$$

Divida 8 por 2.

$$y=4$$

Agora, resolva a equação y=\frac{6±2}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 2 de 6.

$$y=\frac{4}{2}$$

Divida 4 por 2.

$$y=2$$

A equação está resolvida.

$$y=4 y=2$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-3\right)^{2}.

$$2y^{2}-12y+17=y^{2}-6y+9$$

Subtraia y^{2} de ambos os lados.

$$2y^{2}-12y+17-y^{2}=-6y+9$$

Combine 2y^{2} e -y^{2} para obter y^{2}.

$$y^{2}-12y+17=-6y+9$$

Adicionar 6y em ambos os lados.

$$y^{2}-12y+17+6y=9$$

Combine -12y e 6y para obter -6y.

$$y^{2}-6y+17=9$$

Subtraia 17 de ambos os lados.

$$y^{2}-6y=9-17$$

Subtraia 17 de 9 para obter -8.

$$y^{2}-6y=-8$$

Divida -6, o coeficiente do termo x, 2 para obter -3. Em seguida, adicione o quadrado de -3 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-6y+\left(-3\right)^{2}=-8+\left(-3\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -3.

$$y^{2}-6y+9=-8+9$$

Some -8 com 9.

$$y^{2}-6y+9=1$$

Fatorize y^{2}-6y+9. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-3\right)^{2}=1$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifique.

$$y-3=1 y-3=-1$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$y=4 y=2$$