Resolver 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

Resolva para x, y

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$2x-3y=-2$$

Some 3y a ambos os lados da equação.

$$2x=3y-2$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Substitua \frac{3y}{2}-1 por x na outra equação, 4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

Multiplique 4 vezes \frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

Some 6y com y.

$$7y-4=2A$$

Some 4 a ambos os lados da equação.

$$7y=2A+4$$

Divida ambos os lados por 7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Substitua \frac{4+2A}{7} por y em x=\frac{3}{2}y-1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

Multiplique \frac{3}{2} vezes \frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

Some -1 com \frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Para tornar 2x e 4x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 4 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

Simplifique.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

Subtraia 8x+2y=4A de 8x-12y=-8 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

Some 8x com -8x. Os termos 8x e -8x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-12y-2y=-8-4A$$

Some -12y com -2y.

$$-14y=-8-4A$$

Some -8 com -4A.

$$-14y=-4A-8$$

Divida ambos os lados por -14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Substitua \frac{4+2A}{7} por y em 4x+y=2A. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

Subtraia \frac{4+2A}{7} de ambos os lados da equação.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$