Resolver 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Resolva para x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$2x-3y+10=0$$

Subtraia 10 de ambos os lados da equação.

$$2x-3y=-10$$

Some 3y a ambos os lados da equação.

$$2x=3y-10$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Substitua \frac{3y}{2}-5 por x na outra equação, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Multiplique 5 vezes \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Some \frac{15y}{2} com -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Some -25 com 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Some 21 a ambos os lados da equação.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{13}{2}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=\frac{42}{13}$$

Substitua \frac{42}{13} por y em x=\frac{3}{2}y-5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Multiplique \frac{3}{2} vezes \frac{42}{13} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Some -5 com \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

O sistema está resolvido.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Para tornar 2x e 5x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 5 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Simplifique.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Subtraia 10x-2y+8=0 de 10x-15y+50=0 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Some 10x com -10x. Os termos 10x e -10x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Some -15y com 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Some 50 com -8.

$$-13y+42=0$$

Subtraia 42 de ambos os lados da equação.

$$-13y=-42$$

Divida ambos os lados por -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Substitua \frac{42}{13} por y em 5x-y+4=0. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Some -\frac{42}{13} com 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Subtraia \frac{10}{13} de ambos os lados da equação.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Divida ambos os lados por 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

O sistema está resolvido.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$