Resolver 2x^2-x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2x^{2}+ax+bx-15. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=-6 b=5$$

Reescreva 2x^{2}-x-15 como \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Decomponha o termo comum x-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-3=0 e 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, -1 por b e -15 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

Some 1 com 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

O oposto de -1 é 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±11}{4} quando ± for uma adição. Some 1 com 11.

$$x=\frac{12}{4}$$

Divida 12 por 4.

$$x=3$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±11}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 11 de 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Reduza a fração \frac{-10}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Some 15 a ambos os lados da equação.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Subtrair -15 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

Subtraia -15 de 0.

$$2x^{2}-x=15$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

Divida -\frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Some \frac{15}{2} com \frac{1}{16} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Fatorize x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Some \frac{1}{4} a ambos os lados da equação.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$