Resolver 2x^2-4x+1<0

$$2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 < 0$$

Resolver o valor x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-4x+1=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 2 por a, -4 por b e 1 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

Resolva a equação x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)<0$$

Para que o produto seja negativo, x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) e x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) têm de ser dos sinais opostos. Consideremos o caso em que x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) é positivo e x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) é negativo.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Isto é falso para qualquer valor x.

$$x\in \emptyset$$

Consideremos o caso em que x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) é positivo e x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) é negativo.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$