Resolver 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Resolva para x

$$x=3$$

$$x=9$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx+27. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

A solução é o par que devolve a soma -12.

$$a=-9 b=-3$$

Reescreva x^{2}-12x+27 como \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Fator out x no primeiro e -3 no segundo grupo.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Decomponha o termo comum x-9 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-9=0 e x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, -24 por b e 54 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Some 576 com -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

O oposto de -24 é 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{24±12}{4} quando ± for uma adição. Some 24 com 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Divida 36 por 4.

$$x=9$$

Agora, resolva a equação x=\frac{24±12}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 12 de 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Divida 12 por 4.

$$x=3$$

A equação está resolvida.

$$x=9 x=3$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Subtraia 54 de ambos os lados da equação.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Subtrair 54 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Divida -24 por 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Divida -54 por 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Divida -12, o coeficiente do termo x, 2 para obter -6. Em seguida, adicione o quadrado de -6 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -6.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Some -27 com 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Fatorize x^{2}-12x+36. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifique.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Some 6 a ambos os lados da equação.

$$x=9 x=3$$