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Resolva para x
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2x^{2}-2x-1=0
Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}
Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, -2 por b e -1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}
Calcule o quadrado de -2.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}
Multiplique -4 vezes 2.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}
Multiplique -8 vezes -1.
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}
Some 4 com 8.
x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}
Calcule a raiz quadrada de 12.
x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}
O oposto de -2 é 2.
x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}
Multiplique 2 vezes 2.
x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}
Agora, resolva a equação x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} quando ± for uma adição. Some 2 com 2\sqrt{3}.
x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}
Divida 2+2\sqrt{3} por 4.
x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}
Agora, resolva a equação x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 2\sqrt{3} de 2.
x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}
Divida 2-2\sqrt{3} por 4.
x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}
A equação está resolvida.
2x^{2}-2x-1=0
As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.
2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)
Some 1 a ambos os lados da equação.
2x^{2}-2x=-\left(-1\right)
Subtrair -1 do próprio valor devolve o resultado 0.
2x^{2}-2x=1
Subtraia -1 de 0.
\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}
Divida ambos os lados por 2.
x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}
Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.
x^{2}-x=\frac{1}{2}
Divida -2 por 2.
x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}
Divida -1, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.
x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}
Calcule o quadrado de -\frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.
x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
Some \frac{1}{2} com \frac{1}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}
Fatorize x^{2}-x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.
\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}
Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.
x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}
Simplifique.
x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}
Some \frac{1}{2} a ambos os lados da equação.