Resolver 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

Resolva para x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2x^{2}+ax+bx-4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

A solução é o par que devolve a soma 7.

$$a=-1 b=8$$

Reescreva 2x^{2}+7x-4 como \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

Fator out x no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2x-1=0 e x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, 7 por b e -4 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

Some 49 com 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±9}{4} quando ± for uma adição. Some -7 com 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Reduza a fração \frac{2}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±9}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 9 de -7.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Divida -16 por 4.

$$x=-4$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Some 4 a ambos os lados da equação.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Subtrair -4 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

Subtraia -4 de 0.

$$2x^{2}+7x=4$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

Divida 4 por 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

Divida \frac{7}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{7}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{7}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{7}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Some 2 com \frac{49}{16}.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Fatorize x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Subtraia \frac{7}{4} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$