Resolver 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2x^{2}+ax+bx+5. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 10.

$$1,10 2,5$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+10=11 2+5=7$$

A solução é o par que devolve a soma 7.

$$a=2 b=5$$

Reescreva 2x^{2}+7x+5 como \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Decomponha o termo comum x+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x+1=0 e 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, 7 por b e 5 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Some 49 com -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±3}{4} quando ± for uma adição. Some -7 com 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Divida -4 por 4.

$$x=-1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±3}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 3 de -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Reduza a fração \frac{-10}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Subtraia 5 de ambos os lados da equação.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Subtrair 5 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Divida \frac{7}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{7}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{7}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{7}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Some -\frac{5}{2} com \frac{49}{16} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Fatorize x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Subtraia \frac{7}{4} de ambos os lados da equação.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$