Resolver 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2x^{2}+ax+bx-90. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

A solução é o par que devolve a soma 3.

$$a=-12 b=15$$

Reescreva 2x^{2}+3x-90 como \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 15 no segundo grupo.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Decomponha o termo comum x-6 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-6=0 e 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, 3 por b e -90 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Some 9 com 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-3±27}{4} quando ± for uma adição. Some -3 com 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Divida 24 por 4.

$$x=6$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-3±27}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 27 de -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Reduza a fração \frac{-30}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Some 90 a ambos os lados da equação.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Subtrair -90 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Subtraia -90 de 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Divida 90 por 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Divida \frac{3}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{3}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{3}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{3}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Some 45 com \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Fatorize x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Subtraia \frac{3}{4} de ambos os lados da equação.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$