Resolver 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Resolva para x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$2x+y=1$$

Subtraia y de ambos os lados da equação.

$$2x=-y+1$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substitua \frac{-y+1}{2} por x na outra equação, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Some -\frac{y}{2} com -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Divida ambos os lados da equação por -\frac{3}{2}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Multiplique -\frac{1}{2} vezes 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Some \frac{1}{2} com -\frac{3}{2} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-1$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=3$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-1,y=3$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Para tornar 2x e x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Simplifique.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Subtraia 2x-2y=-8 de 2x+y=1 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Some 2x com -2x. Os termos 2x e -2x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$y+2y=1+8$$

Some y com 2y.

$$3y=1+8$$

Some 1 com 8.

$$3y=9$$

Divida ambos os lados por 3.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em x-y=-4. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x-3=-4$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$x=-1$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=3$$