Resolver 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Resolva para x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$2x+3y=6$$

Subtraia 3y de ambos os lados da equação.

$$2x=-3y+6$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Multiplique \frac{1}{2} vezes -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Substitua -\frac{3y}{2}+3 por x na outra equação, 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Multiplique 6 vezes -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Some -9y com -5y.

$$-14y+18=4$$

Subtraia 18 de ambos os lados da equação.

$$-14y=-14$$

Divida ambos os lados por -14.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em x=-\frac{3}{2}y+3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Some 3 com -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Para tornar 2x e 6x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 6 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Simplifique.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Subtraia 12x-10y=8 de 12x+18y=36 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Some 12x com -12x. Os termos 12x e -12x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$18y+10y=36-8$$

Some 18y com 10y.

$$28y=36-8$$

Some 36 com -8.

$$28y=28$$

Divida ambos os lados por 28.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em 6x-5y=4. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$6x-5=4$$

Some 5 a ambos os lados da equação.

$$6x=9$$

Divida ambos os lados por 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$