Resolver 2t^2-9t+4=0

$$2 t ^ { 2 } - 9 t + 4 = 0$$

Resolva para t

$$t=\frac{1}{2}=0,5$$

$$t=4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2t^{2}+at+bt+4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-9 ab=2\times 4=8$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

A solução é o par que devolve a soma -9.

$$a=-8 b=-1$$

Reescreva 2t^{2}-9t+4 como \left(2t^{2}-8t\right)+\left(-t+4\right).

$$\left(2t^{2}-8t\right)+\left(-t+4\right)$$

Fator out 2t no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$2t\left(t-4\right)-\left(t-4\right)$$

Decomponha o termo comum t-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(t-4\right)\left(2t-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva t-4=0 e 2t-1=0.

$$t=4 t=\frac{1}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2t^{2}-9t+4=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, -9 por b e 4 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de -9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes 4.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 2}$$

Some 81 com -32.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 49.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 2}$$

O oposto de -9 é 9.

$$t=\frac{9±7}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$t=\frac{9±7}{4}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{9±7}{4} quando ± for uma adição. Some 9 com 7.

$$t=\frac{16}{4}$$

Divida 16 por 4.

$$t=4$$

Agora, resolva a equação t=\frac{9±7}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 7 de 9.

$$t=\frac{2}{4}$$

Reduza a fração \frac{2}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$t=\frac{1}{2}$$

A equação está resolvida.

$$t=4 t=\frac{1}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-9t+4=0$$

Subtraia 4 de ambos os lados da equação.

$$2t^{2}-9t+4-4=-4$$

Subtrair 4 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2t^{2}-9t=-4$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2t^{2}-9t}{2}=-\frac{4}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=-\frac{4}{2}$$

Divida -4 por 2.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=-2$$

Divida -\frac{9}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{9}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{9}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{9}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=-2+\frac{81}{16}$$

Some -2 com \frac{81}{16}.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=\frac{49}{16}$$

Fatorize t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplifique.

$$t-\frac{9}{4}=\frac{7}{4} t-\frac{9}{4}=-\frac{7}{4}$$

Some \frac{9}{4} a ambos os lados da equação.

$$t=4 t=\frac{1}{2}$$