Resolver 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

Resolva para r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2r^{2}+ar+br+2. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 4.

$$1,4 2,2$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+4=5 2+2=4$$

A solução é o par que devolve a soma 5.

$$a=1 b=4$$

Reescreva 2r^{2}+5r+2 como \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

Fator out r no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Decomponha o termo comum 2r+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2r+1=0 e r+2=0.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, 5 por b e 2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 5.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Some 25 com -16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 9.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Agora, resolva a equação r=\frac{-5±3}{4} quando ± for uma adição. Some -5 com 3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

Reduza a fração \frac{-2}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Agora, resolva a equação r=\frac{-5±3}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 3 de -5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

Divida -8 por 4.

$$r=-2$$

A equação está resolvida.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

Subtrair 2 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Divida -2 por 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

Divida \frac{5}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{5}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{5}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{5}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Some -1 com \frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Fatorize r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifique.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Subtraia \frac{5}{4} de ambos os lados da equação.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$