Resolver 2k^2-5k-3=0

$$2 k ^ { 2 } - 5 k - 3 = 0$$

Resolva para k

$$k=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$k=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2k^{2}+ak+bk-3. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-5 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -5.

$$a=-6 b=1$$

Reescreva 2k^{2}-5k-3 como \left(2k^{2}-6k\right)+\left(k-3\right).

$$\left(2k^{2}-6k\right)+\left(k-3\right)$$

Decomponha 2k em 2k^{2}-6k.

$$2k\left(k-3\right)+k-3$$

Decomponha o termo comum k-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(k-3\right)\left(2k+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva k-3=0 e 2k+1=0.

$$k=3 k=-\frac{1}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2k^{2}-5k-3=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, -5 por b e -3 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de -5.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -3.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

Some 25 com 24.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 49.

$$k=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 2}$$

O oposto de -5 é 5.

$$k=\frac{5±7}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$k=\frac{5±7}{4}$$

Agora, resolva a equação k=\frac{5±7}{4} quando ± for uma adição. Some 5 com 7.

$$k=\frac{12}{4}$$

Divida 12 por 4.

$$k=3$$

Agora, resolva a equação k=\frac{5±7}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 7 de 5.

$$k=-\frac{2}{4}$$

Reduza a fração \frac{-2}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$k=-\frac{1}{2}$$

A equação está resolvida.

$$k=3 k=-\frac{1}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}-5k-3=0$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$2k^{2}-5k-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtrair -3 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2k^{2}-5k=-\left(-3\right)$$

Subtraia -3 de 0.

$$2k^{2}-5k=3$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2k^{2}-5k}{2}=\frac{3}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k=\frac{3}{2}$$

Divida -\frac{5}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{5}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{5}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{5}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Some \frac{3}{2} com \frac{25}{16} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$k^{2}-\frac{5}{2}k+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

Fatorize k^{2}-\frac{5}{2}k+\frac{25}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(k-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplifique.

$$k-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} k-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

Some \frac{5}{4} a ambos os lados da equação.

$$k=3 k=-\frac{1}{2}$$