Resolver 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Resolva para k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Adicionar 7 em ambos os lados.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2k^{2}+ak+bk+7. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 14.

$$1,14 2,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+14=15 2+7=9$$

A solução é o par que devolve a soma 9.

$$a=2 b=7$$

Reescreva 2k^{2}+9k+7 como \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Fator out 2k no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Decomponha o termo comum k+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva k+1=0 e 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Some 7 a ambos os lados da equação.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Subtrair -7 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Subtraia -7 de 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, 9 por b e 7 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Some 81 com -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Agora, resolva a equação k=\frac{-9±5}{4} quando ± for uma adição. Some -9 com 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Divida -4 por 4.

$$k=-1$$

Agora, resolva a equação k=\frac{-9±5}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 5 de -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Reduza a fração \frac{-14}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

A equação está resolvida.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Divida \frac{9}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{9}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{9}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{9}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Some -\frac{7}{2} com \frac{81}{16} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Fatorize k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplifique.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Subtraia \frac{9}{4} de ambos os lados da equação.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$