Resolver 2b^2-4b+1>0

$$2 b ^ { 2 } - 4 b + 1 > 0$$

Resolver o valor b

$$b\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$2b^{2}-4b+1=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 2 por a, -4 por b e 1 por c na fórmula quadrática.

$$b=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Efetue os cálculos.

$$b=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

Resolva a equação b=\frac{4±2\sqrt{2}}{4} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$b=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 b=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$2\left(b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)>0$$

Para que o produto seja positivo, b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) e b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) têm de ser negativos ou ambos positivos. Consideremos o caso em que b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) e b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) são ambos negativos.

$$b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0 b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Consideremos o caso em que b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) e b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) são ambos positivos.

$$b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$