Resolver 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2x^{2}+ax+bx-40. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

A solução é o par que devolve a soma -11.

$$a=-16 b=5$$

Reescreva 2x^{2}-11x-40 como \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Decomponha 2x no primeiro grupo e 5 no segundo.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Decomponha o termo comum x-8 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione x-8=0 e 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, -11 por b e -40 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Some 121 com 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

O oposto de -11 é 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{11±21}{4} quando ± for uma adição. Some 11 com 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Divida 32 por 4.

$$x=8$$

Agora, resolva a equação x=\frac{11±21}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 21 de 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Reduza a fração \frac{-10}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Some 40 a ambos os lados da equação.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Subtrair -40 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Subtraia -40 de 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Divida 40 por 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Divida -\frac{11}{2}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{11}{4}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{11}{4} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{11}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Some 20 com \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Fatorize x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Some \frac{11}{4} a ambos os lados da equação.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$