Resolver 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Resolva para x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 30 de ambos os lados.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Subtraia 30 de -6 para obter -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2x^{2}+ax+bx-36. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

A solução é o par que devolve a soma 1.

$$a=-8 b=9$$

Reescreva 2x^{2}+x-36 como \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 9 no segundo grupo.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Decomponha o termo comum x-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-4=0 e 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Subtraia 30 de ambos os lados da equação.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Subtrair 30 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Subtraia 30 de -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, 1 por b e -36 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Some 1 com 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±17}{4} quando ± for uma adição. Some -1 com 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Divida 16 por 4.

$$x=4$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±17}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 17 de -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Reduza a fração \frac{-18}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Some 6 a ambos os lados da equação.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Subtrair -6 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Subtraia -6 de 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Divida 36 por 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Divida \frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Some 18 com \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Fatorize x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Subtraia \frac{1}{4} de ambos os lados da equação.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$