Resolver 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 16x^{2}+ax+bx-9. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

A solução é o par que devolve a soma 10.

$$a=-8 b=18$$

Reescreva 16x^{2}+10x-9 como \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Fator out 8x no primeiro e 9 no segundo grupo.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2x-1=0 e 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 16 por a, 10 por b e -9 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Calcule o quadrado de 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplique -4 vezes 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplique -64 vezes -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Some 100 com 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Calcule a raiz quadrada de 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Multiplique 2 vezes 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-10±26}{32} quando ± for uma adição. Some -10 com 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Reduza a fração \frac{16}{32} para os termos mais baixos ao retirar e anular 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-10±26}{32} quando ± for uma subtração. Subtraia 26 de -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Reduza a fração \frac{-36}{32} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Some 9 a ambos os lados da equação.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtrair -9 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Subtraia -9 de 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Divida ambos os lados por 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Dividir por 16 anula a multiplicação por 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Reduza a fração \frac{10}{16} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Divida \frac{5}{8}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{5}{16}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{5}{16} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{5}{16}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Some \frac{9}{16} com \frac{25}{256} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Fatorize x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Subtraia \frac{5}{16} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$