Resolver 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

Resolva para y

$$y=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 15y^{2}+ay+by+1. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 15.

$$1,15 3,5$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+15=16 3+5=8$$

A solução é o par que devolve a soma 8.

$$a=3 b=5$$

Reescreva 15y^{2}+8y+1 como \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

Decomponha 3y em 15y^{2}+3y.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Decomponha o termo comum 5y+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 5y+1=0 e 3y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 15 por a, 8 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Calcule o quadrado de 8.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

Multiplique -4 vezes 15.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

Some 64 com -60.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

Calcule a raiz quadrada de 4.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

Multiplique 2 vezes 15.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-8±2}{30} quando ± for uma adição. Some -8 com 2.

$$y=-\frac{6}{30}$$

Reduza a fração \frac{-6}{30} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-8±2}{30} quando ± for uma subtração. Subtraia 2 de -8.

$$y=-\frac{10}{30}$$

Reduza a fração \frac{-10}{30} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$y=-\frac{1}{3}$$

A equação está resolvida.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

Subtrair 1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Divida ambos os lados por 15.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

Dividir por 15 anula a multiplicação por 15.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

Divida \frac{8}{15}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{4}{15}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{4}{15} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{4}{15}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Some -\frac{1}{15} com \frac{16}{225} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Fatorize y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Simplifique.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Subtraia \frac{4}{15} de ambos os lados da equação.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$