Resolver 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 15x^{2}+ax+bx+2. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

A solução é o par que devolve a soma 11.

$$a=5 b=6$$

Reescreva 15x^{2}+11x+2 como \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Decomponha 5x no primeiro grupo e 2 no segundo.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Decomponha o termo comum 3x+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione 3x+1=0 e 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 15 por a, 11 por b e 2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Calcule o quadrado de 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplique -4 vezes 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplique -60 vezes 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Some 121 com -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Calcule a raiz quadrada de 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Multiplique 2 vezes 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-11±1}{30} quando ± for uma adição. Some -11 com 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Reduza a fração \frac{-10}{30} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-11±1}{30} quando ± for uma subtração. Subtraia 1 de -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Reduza a fração \frac{-12}{30} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Subtrair 2 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Divida ambos os lados por 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Dividir por 15 anula a multiplicação por 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Divida \frac{11}{15}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter \frac{11}{30}. Em seguida, some o quadrado de \frac{11}{30} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{11}{30}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Some -\frac{2}{15} com \frac{121}{900} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Fatorize x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Subtraia \frac{11}{30} de ambos os lados da equação.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$